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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 &52CR6#*  
lhb5Ybu8s  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. e{af!?'t  
1HSc^*H  
　　1、三角函数本质： Y!ZX W  
9EFVF^Sq8  
　　三角函数的本质来源于定义 kI?#d |k<  
`.9TN~G\  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 fTDw,),'R1  
4a gRT+!%  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 .~ T^2   
,a +anmJ[  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： w}'I05=  
6{T`K=Q  
　　推导： O?%c&c+  
m*.pCs+t  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 }Sj/  
wh03= G\F  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ys#~B"\%  
;/ (l  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) pYl8iS2  
C0kdF'  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ~Tnk*]  
,IHu i,5y  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） W%5wi!h%T  
n}_ x~S  
　　[1] Mz9cj@>Y  
Ae8Q #  
　　两角和公式 ]&H)Ro1   
?xux%L  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ?fX6?#  
zId,kM2  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ^O4rAWQ[I{  
5(}=:l8}  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB DOD[9q_  
yQ\B5L;;  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB _xy@Zx2GFs  
40S-{vf  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) +vLzC q[  
E@r=$1]'H  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) pSGS|*h)  
lb}Q"C  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Iqx.V?T>=  
KYf;Q?&  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) @HxL\~Lh  
MM>dPr%5  
倍角公式 gVfCANzb  
tu8:`rPH;  
　　Sin2A=2SinA•CosA :LV8QR~G  
S%8?p:e<NG  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 WaFMuXh\  
aCvI/t3  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Sj)-r6,,  
5w%W;[&  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） \WFE=@6  
Oo&-QgLFs  
三倍角公式 N`3=rz  
E^cj# b;  
　　 tOW@V&&  
xca-_{>  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) *b@DO5q$  
\clpF&  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) oI71 ..  
4 JvJO1L  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) E 1R*2~)  
XqnVfPO  
三倍角公式推导 RsfL]nT n  
3lpcJl&_v  
　　sin3a Iefn2q,3I  
 y<a/t4  
　　=sin(2a+a) Qsp]e} _  
O;@Sv2  
　　=sin2acosa+cos2asina eUj /kRW  
ha:Xu lU  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ,iAF}'N#k  
?WYU~L4]  
　　=3sina-4sin³a /@9X(&,@  
B*I GW6/a  
　　cos3a @9lCL2  
y%ayzB9Za  
　　=cos(2a+a) p`*3m;p?Q  
"(qY4FI  
　　=cos2acosa-sin2asina T;JJ .O  
LdP_vbfX52  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa gT X7@"P  
|k@4C]ma  
　　=4cos³a-3cosa AVcLM/  
4)C0e.Bv  
　　sin3a=3sina-4sin³a j_0V /  
Ww[E=  
　　=4sina(3/4-sin²a) z@&9U MO  
P`P{z^  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Y],DEo+  
:id !*  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ~ZT(N'O1H  
kor*tqug I  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) }^+>4%R1  
#X2qpPSsD  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ..?[Ze `A  
7|v@F^;  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) j7_RY& uw  
2NKm;N^r  
　　cos3a=4cos³a-3cosa "~^Q"DQh  
fqtS2 |}u  
　　=4cosa(cos²a-3/4) p$/l&K2z  
'3+F|G'T  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] yG[p \3;(c  
{UlRyQd!  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) J")4ElXgI  
\I :/syW  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) &W1 g}V[J  
c/>v/q   
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Q]Mz$  
Hmr)`n  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) lug%ELs  
Di0;w N}  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] dfU% 2  
4@ HWTL  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] [)$2l.8  
'"*2^Z  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) lCYk lUcw  
wy>3|X3lw3  
　　上述两式相比可得 qqL 6\P  
6CqG  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) -#~di9d  
^ S.63@_  
半角公式 tE*/][_  
>mr(\1`  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); *rSFX2;E  
i{U <s  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. i_>yRu<  
]1e s3 QT  
和差化积 = \.kT  
:V~n'Y"R(V  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] n}d**QA6  
'/B }q3\:  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 0tAwCK4m  
zlC_r''"  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \o \# u  
o6F@$(o  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] q@y;b-|2  
Wg}D&KN  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) T RY40i}H  
)%-ra (_  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) O;2h`6g  
f_Iuz$a  
积化和差 *XKz#K>XY  
"`5r$j|K  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] N-$WDA5  
_tX<  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 2|{*B"4_  
(&Bn q(  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] zx\D  
RCIyKW4g  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] x^"1e< ~  
XL#WTLU+  
诱导公式 NY<_ La  
_wjT/K  
　　sin(-α) = -sinα KnK4{]q  
B pQIF4Z>  
　　cos(-α) = cosα - gu/og  
7OSsmu$L  
　　sin(π/2-α) = cosα QY\_){q  
*V5cI?  
　　cos(π/2-α) = sinα 3 4u2#  
T)<79W b>  
　　sin(π/2+α) = cosα 0N9n_F  
S!XgvF*  
　　cos(π/2+α) = -sinα >k;%][VT,  
enm EA-|B  
　　sin(π-α) = sinα Jh=1fyK|  
npj)`_,D  
　　cos(π-α) = -cosα }~[6 z  
A#:Uy>u:  
　　sin(π+α) = -sinα xT{0`  
(Cd8ur#B  
　　cos(π+α) = -cosα p;}z|A`J3  
MZ~"m/[V  
　　tanA= sinA/cosA CdY",n  
 2[`Q: 4  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα D0isN.D  
n |8e$  
　　tan（π/2－α）＝cotα T8-BO  
I*ko57-3  
　　tan（π－α）＝－tanα O>3fp] %]  
!{V}bZLi4  
　　tan（π＋α）＝tanα O l t2wmt  
&1 e38t  
万能公式 pdH-:)S'  
7|;8\MMH  
　　 W^/%g*Fi  
] Y"}[  
其它公式 /8OFCJh:  
}2gNn64  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Sgv`E7  
#^"}V D  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ^~8So).d  
J, ug4+_M  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 7T2a}fq-5g  
;cDZL  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 E>yN`cS.  
q3w\1+wPbo  
　　对于任意非直角三角形,总有 eo0d{wze  
>a e0DxG  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC CO&+eFNbo  
u<mSNFK  
　　证: . 1ZrM6  
.thq43 l  
　　A+B=π-C @k6 >4|~  
.@FFZn9\c  
　　tan(A+B)=tan(π-C) tHI53{  Z  
[8!8:5(=^  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) T.w)B @_  
/lq1Tvc^  
　　整理可得 qs9;{_.  
nQ Jat)>  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC b&QGy*Lj  
IuSJgu7#  
　　得证 =nUEb`R=T  
28 :+#(8  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 4c~ "N@X  
4`J.v|hNb  
其他非重点三角函数 &y R&.8nc  
9kV-<MCB  
　　csc(a) = 1/sin(a)  YO"S%  
R#n>;EHB1  
　　sec(a) = 1/cos(a) 4#[ Ibq  
"5dErj F53  
　　 CCcF?1ghN  
t?'G=%a  
双曲函数 L+s O=)E  
:w[n])I  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 0 2 ( +)  
er,-z{(Yb  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 U6Yw ]?=d  
$?YiHk<k]  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 7N0k8Zq  
E3=,D[  
　　公式一： wS/$: X\1;  
K,0uibXF  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： P'G%6Zv  
%5yW39  
　　sin（2kπ＋α）= sinα -(` !jT3  
N;&I!AAt  
　　cos（2kπ＋α）= cosα a'':&  
fmq ^xvD  
　　tan（kπ＋α）= tanα F' s@b~[3  
%V.|ut  
　　cot（kπ＋α）= cotα /Y"7s<5{  
gs?o*J:LI4  
　　公式二： ]vW (Z s  
SB8 R!25K  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 1oO1jRqQ  
 )o\=  
　　sin（π＋α）= -sinα -/KMz"  
ll! AG zI  
　　cos（π＋α）= -cosα (T=37s  
(/CBP\%  
　　tan（π＋α）= tanα %]!6mrx c<  
p*bM<Rav{  
　　cot（π＋α）= cotα  *sz3$9V]  
jQ=*L0wyw  
　　公式三： 8u#iz$w^x  
/mzga"&W@  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 3w\o:G  
|\#yCwNo  
　　sin（-α）= -sinα RMDe\//O  
bvkk P4*  
　　cos（-α）= cosα }9Ub9Q1  
UJ}~0d  
　　tan（-α）= -tanα B3]ku?jZ)  
CF#^0Hq  
　　cot（-α）= -cotα  Te0   
.*G~{MM  
　　公式四： >UJs:%8g$  
Ad=l;kp  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： dalTfQY $  
lfP /dB  
　　sin（π-α）= sinα s $#LsCn  
}h>+$o_+M  
　　cos（π-α）= -cosα rR;k}=6l  
7~S:uB&  
　　tan（π-α）= -tanα $P1 mECW  
`TzB_aux  
　　cot（π-α）= -cotα t1#\O#4"Y  
+[jc2,%d  
　　公式五： g<Gt)> " H  
^X&$w,%J  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 3@7H$4=?  
A~= !w  
　　sin（2π-α）= -sinα ^'&)XHx[  
jZ25W&k  
　　cos（2π-α）= cosα Hnx1sq  
@p>` ~Y.  
　　tan（2π-α）= -tanα 7* LD\&  
Tl)@LutCw  
　　cot（2π-α）= -cotα ;&KMc#  
$p}k+ p)  
　　公式六： sRT\! CzI]  
`>&~b64O  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： gGs!oW  
l s(i>$  
　　sin（π/2+α）= cosα >Rqd1hk5@[  
A/D%)a  
　　cos（π/2+α）= -sinα i0%E)A%  
HP4mnO  
　　tan（π/2+α）= -cotα /Fm bV  
#l n a  
　　cot（π/2+α）= -tanα FZ@QGqM  
1pS;zdK!  
　　sin（π/2-α）= cosα T^J0?_x-X  
N+u='BqI  
　　cos（π/2-α）= sinα 9jsc 6  
oc~h  
　　tan（π/2-α）= cotα 'bn <OF  
4EBO(wh\C  
　　cot（π/2-α）= tanα vD]n]U8k}  
z;q ck|y  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 4 8 8!n+  
wfaX'0fY  
　　cos（3π/2+α）= sinα ^+ir_7L  
xL$J!kiIQ  
　　tan（3π/2+α）= -cotα +3z+[=Ht  
f6C ,O1U  
　　cot（3π/2+α）= -tanα xmmDt3!v  
;;$P\F'\M%  
　　sin（3π/2-α）= -cosα b~.Su1 B=t  
Se&c r"Tj  
　　cos（3π/2-α）= -sinα y[)U Y1mEh  
?-:JP)Zn  
　　tan（3π/2-α）= cotα C45A~|k9p  
>M)TB)oK  
　　cot（3π/2-α）= tanα 9k}[B9  
&X*N$Ao  
　　(以上k∈Z) BT G/O lr<  
2c0W8  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ]MY@1Yl w  
.1y?[/  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ~kvwCsHMA  
yl{D {/  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 35cR\nHBu  
Yuv=As[O  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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