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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 (QwR4E  
]$k#2}9  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. #|[ Lb3 c  
L`IE"5  
　　1、三角函数本质： nI%XN  
CkiUYa  
　　三角函数的本质来源于定义 f"GkVUBX  
ab&iy)[]  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 >&=I0  
DT2-X  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 @x:KO){  
o*\\94O>  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ;S}acniS  
4W6kv{Fx  
　　推导： [67K1 U  
/ J@cC2?2  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 n Mtk5cW  
i5}o1(fd  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Z<(&M\!r  
bDtZ $OIl  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 'MfuOT>S  
zIwjqKP  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 5 L~  
,a&Lx"  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） =(a'3D Iq  
R(Va>Jk2  
　　[1] TG8dhug  
X[i5CF^5  
　　两角和公式 |)aLal|`1  
ka4\k'CY  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 1 *3+e^  
[ eZ;`  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  dDEKf#M?!  
S}?: f `  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB +6? gV#x  
nP s-  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB  un}`F  
h:P<V.up  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) $_`5qA  
C -$B]^  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) jk c4E"  
g)rPNnDc  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  +nG}DXAe  
2u y$ \  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) uey<_S_*  
Km.`Ks'n  
倍角公式 ;o<!| 0  
=Ii2ox  
　　Sin2A=2SinA•CosA Fl? ; B  
jcOy57y z  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 4Vpn\  
@]Fs]^  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） _:8w*`M  
@) =~|  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） J66 E#bq"  
!mA*8w\  
三倍角公式 .#A@^}IA(  
5"3S#5PzG  
　　 >j0;$}f#s  
n; V-2C  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) S)~23,/  
- /j1|'  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) re(c^#  
z:$Vq4|,  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) oqXT"gaf  
ivD%?|*4  
三倍角公式推导 "v)4{ j  
Rr ;f*:p}'  
　　sin3a '#3 }Y7|  
!T?QF,r  
　　=sin(2a+a) D^&Cvo<yF  
 tV@Q   
　　=sin2acosa+cos2asina |,gYQ1K&  
,pq<D>!  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina _soMg K  
THVQ`   
　　=3sina-4sin³a _4]@mA`h  
%qw5 ^D3  
　　cos3a ?N\|cftF  
gbGb|>\\  
　　=cos(2a+a) ch{nW}  
O,XbixoF9`  
　　=cos2acosa-sin2asina m bc_XWl  
0wq d&(  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa CVy dgo#8  
Kn#".esDX  
　　=4cos³a-3cosa trb[W{kK  
 ~?Ae_<  
　　sin3a=3sina-4sin³a ve8.TRV@on  
V\cP`jC  
　　=4sina(3/4-sin²a) Wkhdx4@[{  
_=~6'Y:z  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] %v,}#V  
c';wB4&U*p  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 9K2qS`[  
.s3"7o]  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) qk  5)6  
E+UZ=%nuh  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] X% O$rN  
L @ ;<kI  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) )p= m pK  
Y0e{t{1B  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ?@4Dxpxx\  
0$FaonmCC  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Ru $'nx  
QgA:2`Z  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] '_V.FBXJH  
;3 2<1qJg  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) XbjuE:R$  
[V+?c9~<  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) QA^Y?~  
5]Lg9i:hJ  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ^A48KO !-p  
ftd*[YG3  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) mPfI4\'8t0  
rQ>>]7[  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 7ud#e.  
:, %v] 1|  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] %&Tu-Pc  
PBH~VaO2  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ;*d#fcKv,  
Tw< _#  
　　上述两式相比可得 }Sl.  
-o;^ NDD  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) j\"xPfE  
Mx`DG!k  
半角公式 ~H 6b|>Q  
IbT&LB!*4  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); [DYFp^%  
<?e8ef8  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ;v\%r+`R  
DW7FC15  
和差化积 d`6naw6  
H,f': BcM  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ;W8A8}  
"@,A'*/;  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] l?F "7  
)Dy=[]YP9  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] /yn$/_ 2<w  
{l\i[o  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] a M|Qv:  
K&+>q_-  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) yD%RTR9'  
 w-^%y  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) >^Z CLY3W  
a*O =Mx  
积化和差 7] 2.$a  
P)j90'B-+  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] YjdD<yFZ/  
{YrXtHmk)4  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ;:=n}Qk  
`1V^!xR^Q\  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] '!W<{yl#  
#xGdpE^N  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] X[+p  
f_%D ?OX=  
诱导公式 RC T4JgN  
r<n 1<%R)  
　　sin(-α) = -sinα pFTISY  
+[G:5 ,/  
　　cos(-α) = cosα E<}SDu  
uyTmVt  
　　sin(π/2-α) = cosα Lu5Xs\N  
.|*hx:mJ  
　　cos(π/2-α) = sinα &\F9>)-c  
caEZ)~SdY  
　　sin(π/2+α) = cosα |XJX\OQ  
99O\(er  
　　cos(π/2+α) = -sinα x"^-!Y_  
v]/[<GX  
　　sin(π-α) = sinα gd!*3@  
&#! =y2y  
　　cos(π-α) = -cosα 8sjQ tJC  
iOM$m^%)  
　　sin(π+α) = -sinα X~j5=C;  
pEI!i,'p 3  
　　cos(π+α) = -cosα 4W0%A>p w/  
'f" C6&0'  
　　tanA= sinA/cosA >.>Rup@5K  
CWH/L$v  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα KpI5 f  
@a%-!_6|  
　　tan（π/2－α）＝cotα wu" q?e  
LlBOM<  
　　tan（π－α）＝－tanα  z)vz  
!wc7=  
　　tan（π＋α）＝tanα *) H%  
TGe:B6xI  
万能公式 dHUXX)q  
(!ly[M@uU  
　　 3|IHy~Hg  
wH9fgFU n  
其它公式 (G9P+6  
UbaU(Wp.Q  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 M x9  
Wf<UQ',Q@(  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 pz1c\9gqI  
fAxKK4sH  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 gE@7<?R (  
roLl2V0!3@  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 IyV3mUU  
$=RRz_;  
　　对于任意非直角三角形,总有 <WA*x>t  
M)!PM*  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7=Ph?R YJc  
iDFK}AU   
　　证: 9b $JQu  
dO2 tKw9  
　　A+B=π-C ?S$?YX.@:  
)<`u 5u,  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ; :;rEc8  
MEqX(H  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) uw]P(x-  
Ogr@[zRQ  
　　整理可得 u?'b >  
&|;H5m(^  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC GF P*wYh  
P|^ApO  
　　得证 'i"?OX  
sp"!sR L  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 #s$d2M  
G 7~geJeYy  
其他非重点三角函数 ]nV/~CC7  
f=d920  
　　csc(a) = 1/sin(a) &c8xb"  
gAKlV>T.  
　　sec(a) = 1/cos(a) /uku*o')h  
I/@+h=I  
　　 CLNurB} =  
lvl1>#  
双曲函数 XaZ@yG1l  
A9T #I+p!  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 W_<*0 VFk  
0M=RdW  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 {(&[AvIv`_  
5v U#WUc  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) A0vk?MHb  
'71_|sm  
　　公式一： 2u vT#P  
d 4W_ Dp`  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： z:Ne$_Z  
<'nms q  
　　sin（2kπ＋α）= sinα l,tm2?g  
](PTVU+?k;  
　　cos（2kπ＋α）= cosα lpT&wP  
M@RZ,_'Xu  
　　tan（kπ＋α）= tanα Mgrc|Sm  
F|>];z2  
　　cot（kπ＋α）= cotα #QX*.36  
[GvW#/mwZD  
　　公式二： H =2K`dZ  
[0Nj?kj  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 5?%<R-  
EG(8,3LD  
　　sin（π＋α）= -sinα bL;fV,O  
@dV%XQq  
　　cos（π＋α）= -cosα D  7 g9  
7 H\TJ  
　　tan（π＋α）= tanα 8 $13QH?I  
qvKj{7=Kr&  
　　cot（π＋α）= cotα O U[5C<  
v+@?3 nd  
　　公式三： T+<nhC  
@)QW-O)e  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Sp[yL'  
Tod]~D  
　　sin（-α）= -sinα +$qloee@Ce  
_ lgC$>^  
　　cos（-α）= cosα (,rnUdd  
s3I5_p^[P  
　　tan（-α）= -tanα l6BSU|83  
?}6e 2]  
　　cot（-α）= -cotα 6'gU^Es^  
sE*gqe*PTT  
　　公式四： W}w5W0!pb  
^`p2 q{5 /  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： -=Tg &,(  
U {SK(l'  
　　sin（π-α）= sinα ND!x-=  
@_saS<uC  
　　cos（π-α）= -cosα _!LTo8osM  
X*Q*Aq  
　　tan（π-α）= -tanα Q9OQQm0D  
/qc_y/d7  
　　cot（π-α）= -cotα ';K]E\gGM  
;|39apu  
　　公式五： 2LS6Q1#[K  
mM!/* %i  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： `>7D?w^bv  
{]ro~fv0e  
　　sin（2π-α）= -sinα v~;^Qr  
`]FZohv]/`  
　　cos（2π-α）= cosα 5H75=$.M  
jd),Ls^u:  
　　tan（2π-α）= -tanα 1&_D}g8;  
SH-fGfb{  
　　cot（2π-α）= -cotα L;$qy; ~  
`}RiL+Q`  
　　公式六： &n+af) Xz`  
r%qxq4HB  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 3am_|OE  
 a`,{  
　　sin（π/2+α）= cosα t[ ;Tn^"  
@ ?CmE;  
　　cos（π/2+α）= -sinα (>"NOW77  
3# aNXH6B  
　　tan（π/2+α）= -cotα %_OQ@+ *  
S%}anOwTB\  
　　cot（π/2+α）= -tanα tn}c>1gw  
4U~.*k"4  
　　sin（π/2-α）= cosα sLj|:Y4Za  
nzx) Z 4  
　　cos（π/2-α）= sinα 4v=v9U2  
"'0Jfc  
　　tan（π/2-α）= cotα Iss 1p  
P^/9942va  
　　cot（π/2-α）= tanα &rO:$Y^  
HdJe5&Qp  
　　sin（3π/2+α）= -cosα wH_3,lQ  
7AO%A cc  
　　cos（3π/2+α）= sinα ^!oNYjIS'  
LUo {*&A  
　　tan（3π/2+α）= -cotα w<)rT9)  
p># ^ WG  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ?{Z1m/p  
AQ~D_{y  
　　sin（3π/2-α）= -cosα  xK>[K{  
 1$}8.  
　　cos（3π/2-α）= -sinα +FX,oR6a  
l{iT<ik}  
　　tan（3π/2-α）= cotα 5D[cc3L  
r'5L"zQ  
　　cot（3π/2-α）= tanα ld!}6;k\+]  
)fGe~hYv{F  
　　(以上k∈Z) s gumUOW  
q<7%T&"  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 vaTsk}I<  
xaq};O  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = IRh A=?  
)3DBY\  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Y <:$<,K  
x@dnAY^2[  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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