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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 RUacZzR3!  
B6: %-  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. XhmL,A  
2at2r+2F;  
　　1、三角函数本质： 6Z =y~WDd  
ws_hAt!/+  
　　三角函数的本质来源于定义 Z}tL<^Fx  
0 8Y^ah  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 hrFWf6D  
<uMm<T~Gx  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 DNuo:wP  
N:P\VCE.  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： B-qprSuc  
=(JS5]c  
　　推导： .hj=3F#+  
Edx0'F>  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ^`Gw q0 vy  
x4_mp}(z  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) kWBf fV-  
Uu3, Kv  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) \_4M^'L  
A1_|.C@f^  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 so{)~ n5}  
H~6+qwK5Z  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） yN;L\n[l  
dDX/!&\  
　　[1] p.[Bu6s7  
,i* ="  
　　两角和公式 Q 2|_\U(  
n.905SxUm/  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB XW5s  
2$(zK  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  mW4+[D}0  
&YJ;Qr  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB }uD&`P8gZ  
DYoW1  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB wAP(p rO9  
Ilq7I3=p2  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ;S?^HrQA  
rW?o0BTO  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) New] &j9  
{4aQ4z+m9  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  e6@T)G^  
u7:yTnej  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) #klPP,tc9  
nF E[Ku  
倍角公式 Hho'<wf  
CkMI=N  
　　Sin2A=2SinA•CosA >J:"%x  
HNBa$Me  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 EeDlmy  
rkzpKjN;M  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） VB@.dK=gx  
n?#pEF$  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） >%ap7A?G"  
^Yc5I1,p  
三倍角公式 -n$iIaD  
.mY$9t{  
　　 v^pq4k[c D  
DDsv  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) bJX.A7  
E[OkH\  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) pQRVKu<}y  
_ wK0 ^*  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) gBS!PXe $  
?TAux9 f1l  
三倍角公式推导 $o9o\E  
Rm:6T}t  
　　sin3a M5'|q8\8f  
mjIsl,h  
　　=sin(2a+a) kzp& =^eE  
b `iHXF_H  
　　=sin2acosa+cos2asina Z%blDTX9  
(gT&3lL  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina nJ=1x~b/  
1:SZl6h0q  
　　=3sina-4sin³a BWy%1. Q  
$U[pR]H`  
　　cos3a U_1%a 5Rbm  
| D^y`{_uE  
　　=cos(2a+a) "JNzJ  
ME*r n-0  
　　=cos2acosa-sin2asina pD` qBc%g  
~EHN1UD1e  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa "ne4  
}S?J%r?5  
　　=4cos³a-3cosa pyU^BT|4  
R5m(jfk!Os  
　　sin3a=3sina-4sin³a nrN@J  
.O}w{K^X2<  
　　=4sina(3/4-sin²a) U7Y;v  
8{Z{)M~Ep  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ags:@*  
h p?_p  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) _XhFl#%"  
A _ 0P&:<z  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) eM`VEQh20  
t4&NJP  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ziZL4KK  
R"62T  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) BaPuxct  
fYY L;E4}  
　　cos3a=4cos³a-3cosa >{8)Ijbx  
\9$v RA  
　　=4cosa(cos²a-3/4) S7 0-;[W  
#TV9O*3  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] [+ z>=S(.6  
lb9z=`=l%  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ?kjT^(:  
)/rGld  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) B`8f;  
()8je92_  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Au[` .Y;V  
\3I<W(7(  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) <qw,w"b  
;sYw* v`p  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Ep$P.g$  
t/G< }t  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] {8]]IV0E  
)^Hd-TtWaL  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) %>a(]v5  
CkNMeZ{  
　　上述两式相比可得 cRs> iIo  
[tnGIXB  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) P8n+*  
Ql$_i[_N  
半角公式 V,C|wG<0  
=RS~}^ ~p  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cwge&sYFy  
O 6YZN;f  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 1:v1iZbKe  
wmoMmswP  
和差化积 V wTWH  
aS~Q46+  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] [H ax}N{  
)9: vsCx  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]  _Q]Uz)n  
Pj1-Po9>P  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] --DCXYbt  
gH(h&^}8  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ^&|SBN3\l  
8N/,q}+\c  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tc2Y@~ g*R  
|B` _uT  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) /QZW1lwd  
5&nKag n  
积化和差 ^Fx'/?6h  
8GiA$o/  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] x[$Bfz[(  
bM9SC6!P  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] GFl.k73xM  
=A#zx;;i  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Vbd^P[~Z  
} ;S0a.  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] (q ?H!<u4  
M w(Hl;i  
诱导公式 Ywp&TVd  
gg/}@{|O  
　　sin(-α) = -sinα <45&s6/?  
l}A)y  
　　cos(-α) = cosα i4p}[ma&  
e+ %'A`o  
　　sin(π/2-α) = cosα jman)qh  
.Wb,t$JA  
　　cos(π/2-α) = sinα p4=/BACI0  
s; >g vfk  
　　sin(π/2+α) = cosα JB#R8~e  
6sj'I^W  
　　cos(π/2+α) = -sinα L fsV}f{N  
sk)v'S0  
　　sin(π-α) = sinα dep.PBSB  
gYr Hyi  
　　cos(π-α) = -cosα vE2hbgH  
mM|i$7  
　　sin(π+α) = -sinα D`6s)Gn  
(g qA9  
　　cos(π+α) = -cosα x'^T3)  
x(+E_~/0Q  
　　tanA= sinA/cosA c/bx [jk  
zpvd/p <  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα N!8h|L  
A&}aAX}>  
　　tan（π/2－α）＝cotα &X l hv$Y  
uWrGw<A}  
　　tan（π－α）＝－tanα >26aR7J#  
\4RgD  
　　tan（π＋α）＝tanα 'jRm};B%lU  
j.WUM>-g  
万能公式 K)4d9  
qWubKhF  
　　 E@O`:e  
kzi"xHsC%Q  
其它公式 s%HHwx/-|  
WkIg(" E  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 -%fHAv6j  
}K@,Y2+3{s  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 J4#A ?,  
=ZBnaB{g  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 .= 0c(;  
3krvzIU5  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 j|BVU^@P*  
txd4<  
　　对于任意非直角三角形,总有 G$CFwTc,  
Z7*2W9  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC nnx sT#:  
j}fbAs+mr  
　　证: I.Jp L6vo  
s.VnUo8;%  
　　A+B=π-C ;b"G# $Nb  
LhyzZY:<F  
　　tan(A+B)=tan(π-C) OJYMR)?4}  
r y|scZ+0  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Rr3fNB_=  
|i;OQI  
　　整理可得 CK`DCGsO  
}]~A`{q;Sl  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC KGFw`&1\/  
C~At?a  
　　得证 w3xt sG D  
"/nFVt/  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 4U^jc |Q  
1%^P*K[  
其他非重点三角函数 Z;mGZ8O  
]GeT -  
　　csc(a) = 1/sin(a) j w,1 a  
wEHx+DR m  
　　sec(a) = 1/cos(a) L^9$1  
9OzB]y  
　　 gacs(Izi  
i~R',X\  
双曲函数 Bs$2v&1  
;Q`JkLC*  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 yw/>/ R  
m#a' Y5]  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 * ~ Ro"  
Tf$[ia&  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) oMjNd4k  
J*1AVZ"&  
　　公式一： ! "UgC>\  
np8%>f{  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： d^L"'6  
WtRO9Lkg}  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ,h1^Ug{  
$9=|nq  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ql+#~4G  
B pvJn%  
　　tan（kπ＋α）= tanα 8Eo\A_VNy  
Vd.Lf {  
　　cot（kπ＋α）= cotα T)> Kk$  
~ .^D 7  
　　公式二： }$ed .bP>(  
0D71A]n&  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 2zjI;?  
2Mg6V+XJG2  
　　sin（π＋α）= -sinα e:NI HIgs  
&p%L!%  
　　cos（π＋α）= -cosα a[I3K72k  
SOy b0jW  
　　tan（π＋α）= tanα pm;>8w  
E=.f|(  
　　cot（π＋α）= cotα @+A`r??  
hu=%{j[Va  
　　公式三： 0X"Hfia!  
}b_W}<:E  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： wih!bV6~S  
Fy82az  
　　sin（-α）= -sinα Grau%CnH  
,kE8<q]  
　　cos（-α）= cosα ?`A%JCO~o  
xcGiA4P'z  
　　tan（-α）= -tanα [[8dJs;E  
t Z$  
　　cot（-α）= -cotα C6PS-XY?  
tY-eTG  
　　公式四： U2{?D_aV  
Mp#Nr(B  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 4g!g~.@  
"O;d5`n  
　　sin（π-α）= sinα cZfQ; B  
)[IHz #HS  
　　cos（π-α）= -cosα quW@.  
xAOHYuE7  
　　tan（π-α）= -tanα iw8 h`  
rM+Hj8K  
　　cot（π-α）= -cotα *C9 xoF.*0  
3umQl#[ z6  
　　公式五： cZ}i<:o&  
L:sI@#D  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ) \Hr=CeD  
W{lzY%  
　　sin（2π-α）= -sinα :)l ;b= >e  
B!3.xy{#[`  
　　cos（2π-α）= cosα n~ %ZF-@.  
m/vZ0p{Aj  
　　tan（2π-α）= -tanα d;eh:rus  
F"]i24  
　　cot（2π-α）= -cotα Wck^7D,u  
g.zIOu3i  
　　公式六： Ex^@vi?  
~4Q)C:d]  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： "@^jq9Y)  
o1B*=S  
　　sin（π/2+α）= cosα hc}=[BCv  
X#j+pq  
　　cos（π/2+α）= -sinα 2t;45sfm  
+ 5 tJV  
　　tan（π/2+α）= -cotα hdQ0l#8M  
M`.HGt;#  
　　cot（π/2+α）= -tanα 7 D#o! 4  
e?"*xu$  
　　sin（π/2-α）= cosα u6EAF1  
!= 1$4E2  
　　cos（π/2-α）= sinα Y84h/E=  
LA: _oj  
　　tan（π/2-α）= cotα A({@W1i  
dj MI/Xn"  
　　cot（π/2-α）= tanα 9,d1@m_  
9l2${r hm  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 2"`nCip  
fPDN  ?u  
　　cos（3π/2+α）= sinα f%bayivd.  
`%\3%2_m  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Sxa\f60  
w*'I~<$|R  
　　cot（3π/2+α）= -tanα VND<7f25  
%W2R/S&&  
　　sin（3π/2-α）= -cosα F=KzxF:^  
m+@`L]UKqC  
　　cos（3π/2-α）= -sinα X]C:^>p  
MKJ!T&[  
　　tan（3π/2-α）= cotα R#R\w^z?  
+1 4rI[A  
　　cot（3π/2-α）= tanα P{E;f4V  
2Q60 W d  
　　(以上k∈Z) PdBoYwr  
5'j8pv  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 gP5ZZ%K  
9?}y_  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = KVa=# kM  
$vVq>P3  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } |k*s HRAw  
'g8`our 5  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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