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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律  ` BXtQO  
2BE H$=q  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. !+1 017  
o"f=}mhX  
　　1、三角函数本质： #80N;~&I&  
~-;"}8@  
　　三角函数的本质来源于定义 pXA"@qx7  
efB"!e ;>m  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 l0sR <i  
\*Jh5 m7  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 \M;;:K  
v|}G5<  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： J`U^)T`2Q  
.[tP?<7  
　　推导： ? _@)p3_  
Q dZ_t4e  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 P%`jKw:F  
d/Z"Zl s)i  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) z:G H eX_3  
^pjDEZm3  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) LR%i?1<B  
$ >=*T~  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ]r^'n~{T  
``*sK_Dq=  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） VXH$ U~g{T  
i"XH\d  
　　[1] 4L^CZEi  
[z[wX+  
　　两角和公式 ~[} yF7  
+fXRn-  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB V VlNg  
tv=<\iVB  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  //7uVZ  
WXu]+<#R$  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB &`{8.w&ja  
)km|4 JP`  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB /e5gY",  
,NewE}mp3q  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 8 3!h`  j  
DwADuxh-M  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) jCNEXv$   
8oOF-?0  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  .%C2{8tlj  
XPnH^TY  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) : ,lC6w  
@K ?PW 25_  
倍角公式 s !,<:U2'o  
J9mfb,!9b  
　　Sin2A=2SinA•CosA 12 z8OUv  
j* cCAM  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 m 6EvoI)2L  
+c@csvCD%  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） r<v(c  
vz ~cyO3  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） @9V25  
#+_+),i  
三倍角公式 <E11tB12  
HtA;M^ }<  
　　 QS ?-vc  
{unU<}L]sh  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ?Q AQ$an  
{{~4R/4P  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) D>HiiZ  
O2x ;r!I  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) J8D`ldLa[  
V-oF  
三倍角公式推导 2x2J 4Ybi  
D|7i69,\o  
　　sin3a ==fWr,<  
&H^~MDs-1  
　　=sin(2a+a) k ,R+#kAjM  
XbpAqWsK  
　　=sin2acosa+cos2asina bEIe|,@<  
/3Y1 $m&++  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina XCy1}(N7  
-k&XY%Ai1  
　　=3sina-4sin³a <5E`C\P  
[=~VY\?  
　　cos3a +zBT=Z  
[Y5.M]R,A  
　　=cos(2a+a) k3>pZ]:  
ufutdiB8  
　　=cos2acosa-sin2asina _J0b@WIJ  
kmp5P8(OZ  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa O^| BH&!y  
6^G|c: R  
　　=4cos³a-3cosa .4 Z~NO  
d]{M)o{E  
　　sin3a=3sina-4sin³a ?zs  
]je fqT|u+  
　　=4sina(3/4-sin²a) h$eS>fB  
.t%h@<J  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] skKQg  
&wi.bbmm  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) tZwaR&Z!d  
}l]Puq  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) mU 7 NO  
=M"~(sV:R  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 2mC'Y~( |  
KCz8F.PD  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) A0b9^fc  
dRo@ ]  
　　cos3a=4cos³a-3cosa +'29Ant  
~C3eUA$J ~  
　　=4cosa(cos²a-3/4) DyR>\HBC!  
|NFFlh+!Y*  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] BY9+ 0x  
5r=k\G-Ga  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) BKVGK>$  
4x\"-+vZ g  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) MB'ND]>Q  
'q`v'v 27S  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 3JQaS"g{  
;]y5OtnU7  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) $54Z\wT  
!.Hgi$T  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ^&9 C6Go$p  
#H2Pks .  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] }d['*joU  
tNsw5  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ]CHZS[R !  
0M+~fG\P  
　　上述两式相比可得 X7m8P6V>  
go5@^5370  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) "lRuEWPPJ  
X5n] cXTz.  
半角公式 %@a@-4HI<  
_ :ID6I  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); -Evn"  
{tReZ9KL  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. `n )b{ K%  
hmC'Qe"  
和差化积 uY ~d9rA=g  
Sm%7&E0<  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] &R{}a  
D i&d9  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] =*]A(I  
{z crAOzx  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] g?#$mm8f  
AfzAl=_  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] _r\d,f  
!;Ojd  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ;\=u kW  
&uZBdiK*  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) *47cidGr  
^>e.+.0+o^  
积化和差 IIK_st  
KS4YC  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] F2gvi(n=S  
Wpw,%*DM  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] IRm8:1L  
7@O0~;\:_  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] rdu'To[k  
gp<2AO i  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] =_{P <R  
}k#0Z(-d>  
诱导公式 &CB^&nQH  
5&DZkHX  
　　sin(-α) = -sinα sk>olx%{w  
F[*.OA>  
　　cos(-α) = cosα W(8)(cdR  
"h_{QA Q  
　　sin(π/2-α) = cosα ^{/EXx  
,K+xxDx  
　　cos(π/2-α) = sinα *')Q+h  
/8A<*d[  
　　sin(π/2+α) = cosα mc<$cN9  
tCcE/dT|im  
　　cos(π/2+α) = -sinα ,\E/h Dy8  
chh0+jm+u  
　　sin(π-α) = sinα 2KyoZH;  
*2 _oflIe  
　　cos(π-α) = -cosα  O?q6<u1  
-ek%Zgw  
　　sin(π+α) = -sinα gqFX /  
id;ki>n'  
　　cos(π+α) = -cosα yqX@7>h`y  
v|>r\Fa  
　　tanA= sinA/cosA v{V!<!G|  
jQl33U/  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα j t3T$|'\  
I!Dh2!L  
　　tan（π/2－α）＝cotα -r4~rm  
Jt)8 n<L  
　　tan（π－α）＝－tanα y^&(}W  
1fI9z;a24u  
　　tan（π＋α）＝tanα B,: $ @6J_  
i/{Fk> m=  
万能公式 \bMWVH [`  
ifqCcO  
　　 `0{HIxit@  
"6tNJ{&  
其它公式 l#4~wzY  
vS@7Iw5  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 U]9 ;K7a  
$0q8,LZ  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ^;2{*A}  
sJGj*$jPkv  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 q_~rx285t  
7{6SO;O  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 >]P|0kI>  
o[6b7,m  
　　对于任意非直角三角形,总有 wFE@VV~;%L  
[4 :?C  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC sU -mek(O;  
:IFAMJ j;  
　　证: R~ DpH`R  
{@;2Y5l  
　　A+B=π-C 0R629D  
?n|no*  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Q Y!C. )  
b>oVg<~a?  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) OD:okVx ^  
|)B)'+QV  
　　整理可得 }ky5gq|  
q!}LzKmg  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC > PBZ9dV  
IyY~L?J  
　　得证 vhY~#@=/o  
Cc> KmUq  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 'H>uZ ~N  
&UUEun  
其他非重点三角函数 JHi:#  
Ci<a|A`p  
　　csc(a) = 1/sin(a) =Rw23p  
8:MyUCq]  
　　sec(a) = 1/cos(a) tlf$dE2r  
K?\Z]^  
　　 ko`nsui8%  
;7H _^#@  
双曲函数 <vT2;4h6  
m`l}L_Z  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 9TJte.Aa  
cSVnjpsh  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 M KvWQdB$  
3Wg/O7`<  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) g?nvw/!K  
Mkl0r:  
　　公式一： glg#uxn  
GdxLoSb-Z  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 9:;dPvN[3  
V)N>H>hGr  
　　sin（2kπ＋α）= sinα CzpNF+n.}  
}bJg2=BP(  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 9g8pu"P  
Eaa5In~N{  
　　tan（kπ＋α）= tanα d:ObkP9aM  
&_+qov|  
　　cot（kπ＋α）= cotα b1``lVAL^  
fY&+1Z9  
　　公式二： 'A -02c)  
/*9=+.  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： >8auiDUi  
:07zG  
　　sin（π＋α）= -sinα 1RgigZ  
m+vf;)iN=8  
　　cos（π＋α）= -cosα L VOp++mW  
6mM_gBb  
　　tan（π＋α）= tanα ^GF=PRA  
r>rtNV:  
　　cot（π＋α）= cotα T R[:lyWg  
g/P7=  
　　公式三： QLrUa3  
U 9U*|  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： =3L"G\&  
8Hqt~1kZH  
　　sin（-α）= -sinα 2L(gy  
]sg'\Ym[  
　　cos（-α）= cosα t'AZh6#  
Vj\eHbr  
　　tan（-α）= -tanα p6|sJC}SI  
7u5I8  
　　cot（-α）= -cotα KalY"&kB  
dw"_1! p_1  
　　公式四： BE>h[((  
S ^Jr3  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： T fUUGdZC  
X`6Ge V7  
　　sin（π-α）= sinα Qma:rR[  
8-{R]RMq>9  
　　cos（π-α）= -cosα ZFPn3 I  
iiv?ePRk|  
　　tan（π-α）= -tanα (a<CT` s[V  
XPCH+$_)@  
　　cot（π-α）= -cotα <DcizMT  
O^r/e'  
　　公式五： h]?-85VZl  
+W*aT&"(:e  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： OC3iJXv p  
m 64??-P6  
　　sin（2π-α）= -sinα MJ`FFG6  
%|eS^?$  
　　cos（2π-α）= cosα _1%yvr=  
?%|t],7  
　　tan（2π-α）= -tanα 7mbvA^v  
]*&e{gx1  
　　cot（2π-α）= -cotα A!$ d7le  
ap)O1-U]0  
　　公式六： _"R*.QN~ W  
d!Ut)%<:Q  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： -X&AlQ_  
qb'!DK)R)*  
　　sin（π/2+α）= cosα ^ FQQRf  
TaWJG=<\  
　　cos（π/2+α）= -sinα $,|i9Xfnl  
~U}l~  
　　tan（π/2+α）= -cotα Ty$J2?`+0  
cxPf2=TgM  
　　cot（π/2+α）= -tanα "PMmU!-H  
RsY%-E3  
　　sin（π/2-α）= cosα &5*KY]I8  
|,It*r  
　　cos（π/2-α）= sinα 6[I<UYE/  
rnlN w8\t  
　　tan（π/2-α）= cotα Lo=O,L/+h  
aR#s`CrE\d  
　　cot（π/2-α）= tanα =G+V>a  
P;_C,cff>  
　　sin（3π/2+α）= -cosα drqvwYUacX  
fRhKs}td  
　　cos（3π/2+α）= sinα yW PJ{  
!\!JBg  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 7`"Su U-  
l&XQhS_  
　　cot（3π/2+α）= -tanα <(1ev6="  
*t|<9Iv  
　　sin（3π/2-α）= -cosα k03B}yN?  
$v*Y|n!@  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ;lL -  
dh[e*DQ Cp  
　　tan（3π/2-α）= cotα *cXV>ya"  
Xis^\n+Q  
　　cot（3π/2-α）= tanα >E=Siy?B~=  
aai06\1  
　　(以上k∈Z) )hgP\;f Q  
wg;@H]b"  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 n@lFQFc.#  
a';0h|R#x  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = OZiRk9.  
t[o'2|`]S  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } SG:6t8P  
H_ i1 O:  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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